an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n

А Л Г Е Б Р А

Правило знаков: (+)·(+)=(+); (–)·(–)=(+); (+)·(–)=(–)

Действия со степенями

an = aaa...a, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n

n

, , , = = - модуль числа.

Алгебраическая сумма

Если знаки чисел одинаковы: a+b = (общий знак) (|a|+|b|). Складываются модули и ставится общий знак

Если знаки разные, то из большего модуля вычитается меньший и ставится знак числа с большим модулем

Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, a2 – b2 = (a-b)(a+b), (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3,

a3 ± b3 = (a±b)(a2 ab +b2)

Коpни квадратного уравнения аx an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n2 + bx + c = 0

, дискриминант D = b2 – 4ac

Теорема Виета Разложение на множители

x1 + x2 = - , x1 x2 = , аx2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 )

Вершина параболы y = ax2 + bx + c,

Арифметическая прогрессия

аn = а1 + (n-1)d - n-й член, сумма Sn =

Геометрическая прогрессия

an = a1 qn-1 – n-й член , сумма Sn= . При |q| < 1 беск. убыв. S¥=

Cвойства логарифмов

= b – определение, loga a = 1, loga 1 = 0, logc ab = logc a + logc b, log c = logc a – logc b,

loga bn = n loga b, = loga b, loga b = , loga b =

Свойства тригонометрических функций ( и обратных)

Четность: cos(-x) = cos x,

Hечетность: sin(-x) = - sin x, tg(-x) = - tg x, ctg an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n(-x) = - ctgx, arcsin(-x) = - arcsin x, arctg(-x)= - arctg x,

Особые случаи:

arccos(-x)= П - arccos x, arcctg(-x)= П - arcctg x

Периодичносность:

sin(2Пk ± x) = sin(± x)= ±sin x, cos(2Пk ±x) = cos(±x)= cos x,

tg(Пк ± x)=tg(±x)= ± tg x , ctg(Пk ± x)=ctg(±x)= ± сtg x, где k Î Z - целое число

Некоторые значения тригонометрических функций

x рад.

π/6

π /4

π /3

π /2

π

3 π /2

2 π

x град.

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin x

-1

cos x

-1

tg x

¥

¥

ctg x

¥

¥

¥

Правило использования формул приведения

(рассуждение для острого угла 0

f(П/2 ± x) или f(3П/2 ± x) =(знак исходной ф-ии) cf(x) - кофункция

f(П ± x) или f(2П ± x)= (знак исходной an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n ф-ии) f(x)


Å Å _ Å _ Å


_ _ _ Å Å _

sin x cos x tg x= , ctg x =

Простейшие тригонометрические неравенства

Вид неравенства Множество решений неравенства (nÎ Z)

sin x > a

sin x < a

cos x > a

cos x < a

tg x > a

tg x < a

ctg x > a

ctg x < a

|a| £ 1

(arcsin a + 2Пn; П - arcsin a + 2Пn )

(- П - arcsin a + 2Пn; arcsin a + 2Пn)

(- arccos a + 2Пn; arccos a + 2Пn )

(arccos a + 2Пn; 2П – arccos a + 2Пn )

(arctg a + Пn; П/2 + Пn )

(-П/2 + Пn; arctg a + Пn )

(Пn; arcctg a + Пn )

(arcctg a + Пn; П + Пn )

Решение простейших тpигонометpических уравнений



sin x = a, |a|£1, x = (-1)k arcsin a + Пk, k Î Z

cos x an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n = a, |a|£1, x = ± arccos a + 2Пk, k Î Z

tg x = a, x = arctg a +Пk, k Î Z

ctg x = a, x = arcctg a + Пk, k Î Z

Частные случаи (k Î Z)

sin x = 0, x = Пk, , cos x = 0, x = П/2 +Пk

sin x = 1, x = П/2 + 2Пk, cos x = 1, x = 2Пk

sin x = -1, x = - П/2 + 2Пk, cos x = -1, x = П +2Пk

tg x = 0, x = Пk, ctg x = 0, x = П/2 + Пk

Основные тригонометрические тождества

sin2 x + cos x2 = 1Û cos x2 = 1- sin2 x Û sin2 x = 1- cos x2

sin(x ±y) = sin x cos y ± cos x sin y

cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y

Удвоенный аргумент

sin 2x an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n = 2sin x cos x

cos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 - 2sin2 x = - 1 + 2cos2 x

sin2 x = 1/2 (1 - cos 2x), cos2 x = 1/2 (1 + cos 2x)

Утроенный аргумент

sin 3x = sin x (3 - 4sin2 x )

cos 3x = cos x (4cos2 x - 3)

Произведение тригонометрических функций

sin x cos y = 1/2 [sin(x+y) + sin(x-y)]

cos x cos y = 1/2 [cos(x+y) + cos(x-y)]

sin x sin y = 1/2 [cos(x-y) - cos(x+y)]

Сумма триг. ф-й

sin x + sin y = 2sin[(x + y)/2] cos [(x-y)/2]

sin x - sin y = 2cos[(x+y)/2] sin [(x-y)/2]

cos x + cos y = 2cos[(x+y)/2] cos [(x-y)/2]

cos x - cos an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n y = - 2sin [(x+y)/2] sin[(x-y)/2]

Связи функций sin x, cos y c функциями tg x и ctg x

tg x = , ctg x = , tg x ctg x = 1

1 + tg2 x = = sec2 x , x ¹ П/2+Пk, 1 + ctg2 x = =cosec2 x, x ¹ Пk, k Î Z

tg(x ± y) = , x и y ¹ П/2 + Пk, k Î Z

tg 2x = , x ¹ П/2 + Пk, k Î Z, tg x/2 = =

tg x ± tg y =

Унивеpсальная тpигонометpическая подстановка

sin 2x = , cos 2x = , x ¹ П/2 + Пk, k Z

Основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x), v = v(x) - функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n¢

2) (u×v)¢ = u¢×v+ u×v¢ , в частности, (С× u)¢ = C u¢, где С – постоянная.

3) , если v ¹ 0

4) Производная сложной функции

[f(u(x))]¢ = f¢u× u¢ x

5) Производная показательно- степенной функции.

Производные основных элементарных функций.

0) (С)¢ = 0; С - постоянная 4)

1) (xm)¢ = mxm-1 5)

(x)′ =1; ; 6)

-частные случаи 7)

2) 8)

-частный случай 9)

3) 10)

-частный случай 11)

Неопределенный интеграл .

1. ,

2.

3.

Частные случаи.

4.

5.

Таблица интегралов

Интеграл

Интеграл

=

= tgx + C

=

=- ctgx + C

=

=arcsin + C

= ex + C

=

= –cosx + C

13

=

= sinx + C

14

=

7

= – ln½cosx½+C

15

=

8

= ln½sinx½+ C

16

=

Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 3 | Нарушение авторских прав


documentapxcpxx.html
documentapxcxif.html
documentapxdesn.html
documentapxdmcv.html
documentapxdtnd.html
Документ an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n